Сайт в помощь студенту Грамоте учиться – всегда пригодится


Скачать реферат полностью

2. Построение математических моделей по экспериментальным данным

2.1. Постановка задачи идентификации

Задача идентификации формулируется следующим образом. Пусть в результате каких либо экспериментов над объектом замерены его входные X=(х1, х 2,…хn) и выходные переменные Y=(y1, y2,…ym) как функции времени. Требуется определить вид (структуру) и параметры некоторого оператора A, ставящего в соответствие переменные X и Y.

В реальных  условиях переменные  и  замеряются с погрешностьюи.Чаще всего эти погрешности считаются некоррелированными и аддитивными с полезной информацией, т.е. имеют вид

xi=xiист± (i=1,2…n)
yj=yjист± (j=1,2…m)

Различают задачи идентификации в широком (структурная идентификация) и узком смысле (параметрическая идентификация) соответственно.  В первом случае  неизвестна структура и параметры оператораA, во втором – лишь параметры этого оператора.
Таким образом, задача идентификации модели тесно связана  с проведением эксперимента и обработкой экспериментальных зависимостей.
Задача параметрической идентификации сводится к отысканию таких оценок  параметров  математической   модели   A,   которые  обеспечивают  в каком либо смысле близость расчетных   и экспериментальных  значений выходных переменных при одинаковых входных . Отметим, что в общем случае необходимы измерения « компонент вектора , которые могут производиться при «к» повторениях эксперимента при « дискретных отметках времени (если идентифицируемый объект функционирует во времени). В качестве критериев количественной меры близости модели и оригинала чаще всего используются максимальные , средние и среднеквадратичные величины погрешностей рассогласования расчетных и экспериментальных значений урi и уэi, соответственно, т.е
d у = max | урi – уэi|
      
mу = 1/Na ( урi – уэi ),           (2.1)
,
где: i = 1, 2…, N = m + l + k - номер опыта по измерению компоненты уэi
Таким образом, задача параметрической идентификации сводится к минимизации одной из функций вида (2.1). Для минимизации могут быть использованы известные численные методы решения экстремальных задач.
Обилие существующих методов идентификации отражает разнообразие используемых математических моделей и методов их исследования. Очевидно, что  идентифицировать модель детерминированного, линейного, стационарного процесса (модель считается стационарной, если её параметры либо постоянные, либо меняются медленно по сравнению со временем, необходимым для их идентификации) известной размерности, с одним входом – существенно проще, чем аналогичного стохастического процесса неизвестного порядка и степени стационарности.

2.2. Идентификация моделей с помощью регрессионного метода

            Регрессионный анализ представляет собой классический статистический метод. Благодаря своим широким возможностям регрессионные методы давно и успешно используются в инженерной практике. В последнее время в связи с развитием  и внедрением быстродействующих ЭВМ они широко используются для идентификации моделей, в том числе для идентификации динамических, многомерных процессов, систем диагностики и управления в реальном масштабе времени. Регрессионный анализ основывается на двух главных принципах.
1. Методы применяются для линейных по идентифицируемым параметрам моделям. Структура математической модели процесса представляется функцией вида:
       
                                           ,                         (2.2)

где аi – i-тый оцениваемый параметр; fi-  i-тая известная функция, - вектор входных воздействий, y – выходная переменная.
Возможно представление идентифицируемой модели в следующей форме:
   (2.3)           

где аi, bj – оцениваемые параметры; fiи  - априори известные  (заданные) функции. После несложных математических преобразований на основе этих функций можно формировать невязки, линейно зависящие от идентифицируемых параметров аi, bj.
На практике, чаще всего в качествеfiи  выбираются степенные функции, а соответственно выражения (2.2) и (2.3) являются полиномиальными, либо дробно-рациональными зависимостями. При этом точность описания достигается увеличением числа членов полинома, обеспечивающих их сходимость к реальному процессу. Заметим, что получающаяся модель практически никогда не соответствует физической сущности моделируемого реального процесса, его истинному виду, однако инженерная простота вычислений, удобство практического использования модели, возможность получения результата без «особых размышлений» служит основной причиной  широкого распространения на практике регрессионных методов.
Естественно, и в этом случае с помощью удачно выбранного вида полинома можно существенно сократить размер модели, а значит и трудоемкость вычислительного процесса, как при идентификации, так и при использовании модели.