Сайт в помощь студенту Грамоте учиться – всегда пригодится


Скачать реферат полностью

Содержание
Введение.................................................................................... 2

I. Постановка основной задачи теории аппроксимации................ 3
1.1. Основная теорема аппроксимации в
линейном нормированном пространстве............................ 3
1.2. Теорема аппроксимации в пространстве Гильберта...... 7
1.3. Первая теорема Вейерштрасса..................................... 9
1.4. Вторая теорема Вейерштрасса................................... 11

II. Круг идей П.Л. Чебышева..................................................... 12
2.1. Теорема Валле-Пуссена и теорема существования...... 12
2.2. Теорема Чебышева.................................................... 12
2.3. Переход к периодическим функциям.......................... 14
2.4. Обобщение теоремы Чебышева.................................. 16

III.  Методы аппроксимации...................................................... 17
3.1. Приближение функции многочленами........................ 17
3.2. Формула Тейлора...................................................... 17
3.3. Ряды Фурье............................................................... 28

Заключение............................................................................... 34

Литература................................................................................ 35

 

 

Введение
Элементы важной и интересной области математики- теория приближения функций. Под приближением функции понимают замену по определенному правилу одной функции другой, близкой к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений, восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным, и т.п.
Основоположником теории аппроксимации функций является великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894).
В качестве приближающих функций выбирают чаще всего алгебраические и тригонометрические многочлены. Так же важное значение имеет метод наилучшего приближения, предложенный Чебышевым. Он возник из решения практических задач, связанных с конструированием прямолинейно направляющих шарнирных механизмов. Такие механизмы в XIX веке использовались в паровых машинах- основных универсальных двигателях того времени- для поддержания прямолинейного движения поршневого штока. К ним относятся параллелограмм Уатта и некоторые его разновидности.
На дальнейшее развитие этой теории оказало влияние открытие, сделанное в конце XIX века немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Им была доказана принципиальная возможность приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности алгебраическим многочленом, что явилось второй причиной применения этих многочленов как универсального средства приближения функций, с заданной сколь угодно малой ошибкой.
Кроме алгебраических многочленов, другим средством приближения функций являются тригонометрические многочлены, значение которых в современной математике, конечно, не исчерпывается указанной ролью.
I. Постановка основной задачи аппроксимации
Основную задачу теории аппроксимации можно сформулировать следующим образом: на некотором точечном множестве  в пространстве произвольного числа измерений заданы 2 функции f(P) и F(P,A1,A2...An) от точки P, из которых вторая зависит ещё от некоторого числа параметров А1,А2...Аn; эти параметры требуется определить так, чтобы уклонение в  функции F(P,A1,A2...An) от функции f(P) было наименьшим. При этом, конечно, должно быть указано, что понимают под уклонением F от f или, как ещё принято говорить, под расстоянием между F и f.
Если, например, рассматриваются ограниченные функции, то в качестве расстояния между двумя функциями можно взять верхнюю грань в  модуля их разности. При таком определении расстояния для совокупности всех ограниченных в  функций оказываются справедливыми многие соотношения, которые мы имеем для точек обычного 3х-мерного пространства.
Последнее обстоятельство, с которым постоянно приходится сталкиваться в математике при рассмотрении других классов функций и многих иных совокупностей (множеств), привело к созданию весьма важного понятия метрического пространства, так что при дальнейшем изложении совокупность  - это метрическое, либо Гильбертово пространство.

1.1. Основная теорема аппроксимации линейном нормированном пространстве
Пусть Е- произвольное нормированное пространство, пусть g1,g2...gn- n линейно- независимых элементов из Е. Основную задачу аппроксимации применительно к рассматриваемому нами “линейному случаю” можно сформулировать следующим образом: дан элемент хЕ, требуется определить числа ,... так, чтобы величина  получила наименьшее значение.

Докажем, что требуемые значения чисел