Сайт в помощь студенту Грамоте учиться – всегда пригодится

Cкачать полностью

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
НОУ ВПО «С.И.Б.У.П.»

 

 

Контрольная работа
по дисциплине «Высшая математика»
Вариант 13.

 

 

 

Выполнила студентка

 

Проверил:

 

 

Красноярск, 2008г.

 


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задание 1

 

Коэффициенты использования рабочего времени у двух комбайнов соответственно равны 0,8 и 0,6. Считая, что остановки в работе каждого комбайна возникают случайно и независимо друг от друга, определить относительное время (вероятность: а) работы только одного комбайна; б) простоя обоих комбайнов.

А) Данное событие (работает только один комбайн) есть сумма 2 несовместных событий:

A = B + C,
где B: работает только 1-й (2-й простаивает); C: работает только 2-й (1-й простаивает). Каждое из этих событий есть произведение 2 независимых событий:
B = D;
C = E,
где D, E – события, состоящие в том, что 1-й и 2-й комбайны работают; ,  - противоположные им события, т.е. 1-й и 2-й комбайны не работают. Их вероятности:
P (D) = 0,8
P (E) = 0,6
P () = 1 – P (D) = 1 – 0,8 = 0,2
P () = 1 – P (E) = 1 – 0,6 = 0,4
По теоремам сложения и умножения вероятностей
P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P () + P () P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44
Б) Данное событие (оба комбайна простаивают) есть произведение 2 независимых событий:
F =
По теореме умножения вероятностей
P (F) = P () P () = 0,2 * 0,4 = 0,08

 

Задание 2

Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
Происходит n = 800 независимых испытаний, в каждом из которых данное событие (опоздание на поезд) происходит с вероятностью p = 0,01. Наиболее вероятное число наступлений события удовлетворяет неравенствам
np – q ? k < np + p,
где q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99
800 * 0,01 – 0,99 ? k < 800 * 0,01 + 0,01
7,01 ? k < 8,01
k = 8
Так как n велико, p мала, соответствующую вероятность найдем по формуле Пуассона:
Pn (k) = ,
где a = np = 800 * 0,01 = 8

P800 (8) =  = 0,140

 

Задание 3

На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия, даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них для первого и для второго.
X       0        1        2                 Y       0        2
p       0,1     0,6     0,3              p       0,5     0,5
Составить закон распределения случайной величины Z = X + Y числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками. Составить функцию распределения и построить ее график. Проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.
Величина Z может принимать значения:
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 2 = 3
2 + 0 = 2
2 + 2 = 4
Вероятности этих значений (по теоремам сложения и умножения вероятностей):
P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05
P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2
P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15
Закон распределения:
Z       0        1        2        3        4
p       0,05   0,3     0,2     0,3     0,15
Проверка:
? pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.
Функция распределения
F (x) = P (X < x) =  =

Математические ожидания:
M (x) = ? xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = 1,2
M (y) = ? yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1
M (z) = ? zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = 2,2
M (z) = M (x) + M (y) = 1,2 + 1 = 2,2


Задание 4

Случайная величина X задана функцией распределения
F (x) =
Найти: 1) вероятность попадания случайной величины X в интервал (1/3; 2/3); 2) функцию плотности распределения вероятностей f (x); 3) математическое ожидание случайной величины X; 4) построить графики F (x) и f (x).

Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) равна

P (a < X < b) = F (b) – F (a)

P (1/3 < X < 2/3) = F (2/3) – F (1/3) = (2/3)3 – (1/3)3 = 8/27 – 1/27 = 7/27

Функция плотности

f (x) = F`(x) =

  1. Математическое ожидание

M (X) =  =  =  =  = ? (14 – 04) = ?

    • Графики: