Сайт в помощь студенту Грамоте учиться – всегда пригодится

Cкачать полностью

 

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).
Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.
Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])
В Главе II изучаются представления *-алгебры P2
P2= С < p1, p2 | p12 = p1* = p1,   p22 = p2* = p2 >,
порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления р в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:
4 одномерных:   р0,0(p1) = 0, р0,0(p2) = 0; р0,1(p1) = 0, р0,1(p2) = 1;
р1,0(p1) = 1, р1,0(p2) = 0; р1,1(p1) = 1, р1,1(p2) = 1.
И двумерные:      ,       ф  (0, 1).
Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно р подпространств Н, а также получено разложение р на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема. 
В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р1+Р2 или А = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).


Глава I. Основные понятия и определения
§ 1. - алгебры

    1. Определение - алгебры.

Определение 1.1.  Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:

  1. А есть линейное пространство;
  2. в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
    воряющая следующим условиям:

б (x y) = (б x) y,
x (б y) = б (x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x (y + z) = xy + xz  для любых x, y, z  А и любых чисел б.
Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.
Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x> x* алгебры А в А, что

  1. (x*)* = x;
  2. (x + y)* = x* + y*;
  3. (б x)* =  x*;
  4. (xy)* = y*x*   для любых x, y  С.

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.
Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.

1.2. Примеры

  1. На А = С отображение z> (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.
  2. Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
    рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого е > 0 множество {t T: |f (t)|  е} компактно, f (t)  А. Снабжая А отображением f> получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).
  3. Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.
  4. Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А>А* К(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.
  5. Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

Алгебра W есть *- алгебра, если положить .   ()

1.3. Алгебры с единицей