Сайт в помощь студенту Грамоте учиться – всегда пригодится


Скачать полностью

§ 6.  МЕХАНИЧЕСКИЕ  КОЛЕБАНИЯ   Основные формулы
• Уравнение гармонических колебаний
 
где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
t — время; А, ?, ?— соответственно амплитуда, угловая частота,
начальная фаза колебаний;         — фаза колебаний в момент t.
• Угловая частота колебаний
 , или   ,
где ? и Т — частота и период колебаний.
• Скорость  точки,   совершающей   гармонические  колебания,

• Ускорение при гармоническом колебании

• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле
 
где aА2амплитуды составляющих колебаний; ?1 и ?2— их начальные фазы.
• Начальная фаза ? результирующего колебания может быть найдена из формулы

• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна­чению частотами ?1 и ?2,

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A1 и A2 и начальны­ми фазами ?1 и ?2,

Если начальные фазы  ?1 и ?2 составляющих колебаний одинако­вы, то уравнение траектории принимает вид
 
т. е. точка движется по прямой.
В том случае, если разность фаз  , уравнение
принимает вид
 
т. е. точка движется по эллипсу.
• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма­териальной точки
 ,    или         ,
где m — масса точки; kкоэффициент квазиупругой силы (k=т?2).
• Полная энергия материальной точки, совершающей гармони­ческие колебания,

• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник),
 
где m — масса тела; kжесткость пружины.    Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав­нении с массой тела).
Период колебаний математического маятника
 
где l — длина маятника; gускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника
 
где J — момент инерции   колеблющегося тела относительно  оси
колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний;
 — приведенная длина физического маятника.
Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч­но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.
Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,
 
где Jмомент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; kжесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.
• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
 ,   или    ,
где r — коэффициент сопротивления; ?коэффициент затухания:  ; ?0— собственная угловая частота колебаний *